Hoe ontstaan eb en vloed?

Ik weet dat eb en vloed ontstaan door de aantrekkingskracht van de Maan, maar hoe werkt dat precies en hoe komt het dat het tweemaal per dag eb en vloed is?

Figuur 1: Schematische weergave van de kracht die de Maan uitoefent op verschillende punten op Aarde. De krachten zijn als rode pijlen weergegeven ten opzichte van het Aarde-Maan-systeem. De lichtblauwe ovaal stelt de vloedbergen voor.

Figuur 2: Schematische weergave van de nettokrachten die de Maan uitoefent op verschillende punten op Aarde. De krachten zijn als rode pijlen weergegeven ten opzichte van (het centrum van) de Aarde. De lichtblauwe ovaal stelt de vloedbergen voor.

Figuur 3: Door de rotatie van de Aarde om haar as liggen de twee vloedbergen (de lichtblauwe ovaal) niet op de lijn die de Aarde en de Maan verbindt, maar lopen deze een beetje voor op de positie van de Maan (hier overdreven weergegeven).

Een kwantitatieve beschrijving

De zwaartekracht

De versnelling van de zwaartekracht door een object met massa \(M\) op afstand \(r\) kan worden afgeleid uit de zwaartekrachtwet van Newton: \begin{equation} g_{\text{z}} = - \frac{G M}{r^2}, \label{eq:gz} \end{equation} waarbij het minteken in Formule \ref{eq:gz} betekent dat de twee objecten elkaar aantrekken en het kwadraat in de noemer van de breuk betekent dat de kracht vier maal zo klein wordt bij een tweemaal zo grote afstand. Voor de Maan geldt \(M \approx 7.346 \times 10^{22}\) kg en \(r \approx 384\,400\) km, zodat \(g_{\text{z}} \approx 3.32 \times 10^{-5}\,\text{m/s}^2\), ongeveer drie miljoenste van de valversnelling op het aardoppervlak (\(g_{\text{a}} \approx 9.81\,\text{m/s}^2\)). Voor de Zon is \(M \approx 1.988 \times 10^{30}\) kg en \(r \approx 149.6\) miljoen km (1 AE), zodat \(g_{\text{z}} \approx 5.93 \times 10^{-3}\,\text{m/s}^2\), ongeveer 0.6 promille van \(g_{\text{a}}\) en circa 179 keer sterker dan de zwaartekracht door de Maan. Dat laatste is ook te verwachten aangezien de Aarde voornamelijk om de Zon draait, en de Maan om de Aarde. De Zon staat weliswaar veel veder weg dan de Maan, wat door dat kwadraat nog eens wordt versterkt, maar is ook zeer veel zwaarder. Figuur 4 toont de werking van de zwaartekracht door de Maan en de Zon, op verschillende plekken op de Aardbol.

Figuur 4: Schematische weergave van de zwaartekracht door de Maan en de Zon op verschillende punten in het centrum (Punt 0) en op de evenaar van de Aarde. Deze figuur is vergelijkbaar met Figuur 1, maar met meer en realistischer rekenwerk. De blauwe cirkel stelt de Aarde voor, gezien op de Noord- of Zuidpool. De Maan en de Zon staan ver naar rechts buiten de tekening. De gekleurde pijlen in de negen punten geven schematisch de zwaartekrachtversnelling weer: blauw voor de Maan en rood voor de Zon. Om het effect versterkt weer te geven is de Maan 10x zo dichtbij gezet als in werkelijkheid, de Zon 1000x. Hierdoor zijn de pijlen, die naar de centra van die twee hemellichamen wijzen, minder parallel dan in werkelijkheid; de getoonde hoeken zijn dus overdreven. Dit toont echter duidelijk aan dat voor de punten die niet op de lijn Aarde-Maan-Zon liggen, er een verticale (in deze figuur) component is die naar het centrum van de Aarde wijst. De blauwe en rode pijl in Punt 1 zijn even lang gemaakt; in werkelijkheid zou de pijl voor de Zon daar circa 179x langer moeten zijn dan die voor de Maan. De andere pijlen van dezelfde kleur zijn in verhouding, maar de verschillen zijn overdreven doordat de Maan en Zon dichterbij zijn geplaatst dan realistisch. Hierdoor is echter goed te zien dat de zwaartekracht in Punt 2, aan de "achterkant" van de Aarde, iets kleiner is dan in het centrum (Punt 0), waar deze weer kleiner is dan in Punt 1 (aan de "voorkant"), door de steeds iets grotere afstand tot de Maan en Zon.

De getijdenkrachten

De getijdenkrachten worden veroorzaakt door het verschil in zwaartekracht over een afstand \(\Delta r\), en worden dus gegeven door de afgeleide van Formule \ref{eq:gz}: \begin{equation} g_{\text{g}} = \frac{dg_{\text{z}}}{dr} \Delta r = 2 \frac{G M}{r^3} \Delta r. \label{eq:gg} \end{equation} Het verschil tussen de voor- of achterkant van de Aarde enerzijds en het centrum anderzijds is haar straal (halve diameter): \(\Delta r \approx 6378\) km. Daarmee vinden we met de massa en afstand van de Maan \(g_\text{g} \approx 1.1 \times 10^{-6}\,\text{m/s}^2\), ongeveer een tienmiljoenste van de valversnelling op het aardoppervlak. De Zon is vele malen zwaarder dan de Maan, maar staat ook wat verder weg. Door de derde macht van de afstand weegt dat laatste zwaarder dan het eerste. We vinden voor de Zon \(g_\text{g} \approx 5.1 \times 10^{-7}\,\text{m/s}^2\), ongeveer 45% van de waarde van de Maan. Om die reden is het effect van de Zon op de getijden geringer dan het effect van de Maan.

Figuur 5: Schematische weergave van de getijdenkrachten door de Maan en de Zon op verschillende punten in het centrum (Punt 0) en op de evenaar van de Aarde. Deze figuur is vergelijkbaar met Figuur 2, maar met meer en realistischer rekenwerk. Net als in Figuur 4 stelt de blauwe cirkel de Aarde voor en staan de Maan en de Zon ver naar rechts buiten de tekening. De gekleurde pijlen geven nu de getijdenkrachten weer: het verschil tussen de zwaartekracht aan de punten aan de rand van de Aarde en de zwaartekracht in het centrum. Hierdoor is de nettokracht in het centrum (Punt 0; geen pijl) nul, zijn de grotere krachten aan de "voorkant" van de Aarde (Punt 1) kleiner geworden en de kleinere krachten aan de "achterkant" van de Aarde (Punt 2) negatief geworden, d.w.z. ze wijzen in de andere richting (van de Maan/Zon af). Voor deze figuur zijn de krachten berekend voor de werkelijke afstand van Maan en Zon, en kloppen de relatieve groottes en de hoeken van de pijlen. We zien dus dat de krachten van de Maan inderdaad ruim tweemaal zo groot zijn als die van de Zon. De situatie is getekend voor de Maan en de Zon in dezelfde richting (Nieuwe Maan), waardoor de krachten elkaar versterken. De zwarte pijlen geven de totale krachten weer, de som van de twee gekleurde pijlen. We zien dat de krachten in Punten 1 en 2 inderdaad van het centrum af staan, zodat er twee vloedbergen kunnen ontstaan. Daarnaast leidt het feit dat de pijlen in Figuur 4 niet parallel waren tot krachten naar het centrum voor Punten 3 en 4. Dit versterkt het effect van eb. De situatie in Punten 3 en 4 is symmetrisch: de waarden zijn identiek, maar de richtingen zijn gespiegeld.

Figuur 5 toont (net als Fig. 2) dat er rond Punten 1 en 2 twee vloedbergen (kunnen) ontstaan op de lijn Aarde-Maan-Zon doordat de krachten van het centrum van de Aarde af wijzen (dus "omhoog"), maar ook dat op de lijn loodrecht daarop (Punten 3 en 4) het effect van eb wordt versterkt doordat de krachten juist naar het aardcentrum toe wijzen. Iets lastiger is te zien dat de krachten van de Maan in Punt 2 ook hier iets kleiner zijn dan in Punt 1 (bij nauwkeurig bestuderen van de figuur is dit net te zien voor de blauwe pijlen van de Maan). Het verschil is circa 5% voor de Maan, en 0.013% voor de Zon, maar het gevolg is dat de vloedberg aan de "achterkant" van de Aarde net iets kleiner is dan die aan de "voorkant", met name dus door de Maan.

Springtij en doodtij

Omdat versnellingen van \(10^{-6}\,\text{m/s}^2\) niet tot de dagelijkse intuïtie behoren, zullen we de netto getijdenkracht door de Maan in Punt 1, aan de "voorkant" van de Aarde, als maatstaf nemen en de waarde "1" geven. In dat geval is de waarde van de Zon in dat punt 45% van de waarde van de Maan, dus 0.45. In Punt 2 zijn de waarden voor Maan en Zon respectievelijk 0.95 (5% minder dan in Punt 1) en 0.45 (vrijwel hetzelfde als in Punt 1) en wijzen de andere kant op. De verticale componenten van de nettokrachten in Punten 3 en 4 hebben waarden van 0.49 voor de Maan en 0.000005 voor de Zon. De totale krachten, de bijdragen van Maan en Zon opgeteld, zijn in Punten 1–3 respectievelijk \(1.00+0.45=1.45\), \(0.95+0.45=1.40\) (beide "omhoog" gericht, van het centrum af) en \(-0.49+0=-0.49\) ("omlaag" gericht, naar het centrum toe). Het verschil in getijdenkrachten tussen gebieden met vloed en gebieden met eb is daarmee ongeveer \(1.4--0.5=1.9\). Dit is de situatie waar de Maan en de Zon in dezelfde richting staan, dus bij Nieuwe Maan. Om de situatie bij Volle Maan te bekijken, zouden we de Zon aan de linkerkant van Figuur 5 moeten zetten (nog steeds uit beeld). We verwisselen in feite de Punten 1 en 2 voor de Zon, maar houden ze gelijk voor de Maan. Aangezien de bijdrage van de Zon vrijwel identiek is in Punten 1 en 2, verandert er vrijwel niets. De vloedberg aan de kant van de Maan is nog steeds iets hoger. De uitkomst is hiermee hetzelfde als voor Nieuwe Maan. In beide gevallen is het verschil tussen eb en vloed maximaal en spreken we van springtij.

Voor Eerste Kwartier of Laatste Kwartier kunnen we de Zon bovenaan de figuur zetten (wederom uit beeld). In dat geval verwisselen we de Punten 1 en 3 en de Punten 2 en 4 voor de Zon, terwijl voor de Maan alles bij het oude blijft. Dit resulteert in andere totale krachten dan voorheen. Voor Punt 1 is dat \(1.00+0.00=1.00\), voor Punt 2 \(0.95+0=0.95\) en voor Punten 3 en 4 \(-0.49+0.45=-0.04\). Het verschil in kracht tussen gebieden met vloed en met eb is daarmee ruwweg (met dezelfde afronding als hierboven) \(1.0--0.0(4)=1.0\). Dat verschil is vrijwel de helft van de waarde van 1.9 die we hierboven vonden voor Nieuwe en Volle Maan. De verschillen tussen eb en vloed zijn dus beduidend kleiner bij Eerste en Laatste Kwartier, en we spreken dan ook van doodtij.

Tweet     @hemel_waarnemen volgen