Orioniden 2017   –   Google Play SterHemel  app  MijnHemel App Store   –   Hemel vannacht   –   Weer   –   Meer vragen over planeten   –   FAQ   –   De Planeten   –   Op/onder   –   Zon en Maan   –   Astrokalender   –   Hemelkaart   –   Maanfasekalender     Naar de hoofdpagina Contact HemelApps FAQ Google Play App Store YouTube Google agenda Facebook Twitter


Logo hemel.waarnemen.com

Waarom zijn de planeetbanen elliptisch in een bolvormig zwaartekrachtsveld?


Kepler zegt dat planeten in een ellipsvormige baan om de Zon bewegen. Einstein zegt dat planeetbanen in feite paden zijn die gevormd zijn door de kromming van het ruimtetijdcontinuüm. De Zon is een bolvormig voorwerp dus zou je verwachten dat hij de ruimte bolvormig kromt, maar blijkbaar gebeurt dit niet en kromt hij de ruimte ellipsvormig. Heeft dit te maken met de massaverdeling in de Zon? Is de Zon niet bolvormig? De planeetbanen veranderen bovendien van ellipsvormig naar cirkelvormig en terug.




Het antwoord op de eerste vraag:

De kromming van het ruimtetijdcontinuüm volgens Einstein is wel degelijk bolvormig of 'centraal gericht'. Dit betekent echter niet dat ook de banen in een sferisch symmetrisch veld ook cirkelvormig moeten zijn. Keplers banen zijn inderdaad ellipsvormig, maar in het bolvormige veld van Newtons zwaartekrachttheorie, die zegt dat de sterkte van het veld met \(1/r^2\) afneemt, dus in alle richtingen gelijk. Bij Einstein is dit net zo, op grote afstand. Je kunt dus in een centraal veld wel degelijk ellipsbanen hebben. De Zon is dus gewoon bolvormig (los van z'n afplatting door rotatie en trillingen aan het oppervlak). Een cirkelbaan is niets anders dan een bijzondere ellipsbaan (namelijk met excentriciteit e=0).

De precieze vorm van de baan wordt bepaald door de gravitatie-energie \(E_\mathrm{g}\) van de Zon enerzijds, en kinetische energie \(E_\mathrm{k}\) van de planeet (of ander object) anderzijds: \[E_\mathrm{g} = \frac{G M m}{r}, \] \[E_\mathrm{k} = \frac{1}{2} m v^2.\]
Hierin is G de gravitatieconstante van Newton, M de massa van de Zon, m de massa van het object dat om de Zon beweegt, en v zijn baansnelheid.

Als \(\mathbf{E_\mathrm{k} < E_\mathrm{g}}\), dan is de baan van het object gebonden, het object blijft rondjes draaien om de Zon. Deze 'rondjes' zijn ellipsbanen. Het meest extreme geval van een ellipsbaan is \(E_\mathrm{k} = 1/2\,E_\mathrm{g}\). De baan is dan cirkelvormig. \(E_\mathrm{k} < E_\mathrm{g}\) betekent dus dat er te weinig kinetische energie is om aan de zwaartekracht van de Zon te ontsnappen. Als \(E_\mathrm{k} = 1/2\,E_\mathrm{g}\), dan volgt uit de formules dat \(\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\), ofwel de zwaartekracht en centrifugaalkracht zijn precies in evenwicht. Een ellipsbaan is typisch de baan van een planeet, asteroïde of periodieke komeet.

Als \(\mathbf{E_\mathrm{k} = E_\mathrm{g}}\), dan is de baan een parabool en dus ongebonden. Het object begint 'ongeveer in het oneindige' naar de Zon te vallen, beweegt er eenmaal langs, en beweegt weer naar het oneindige (in dezelfde richting als waar het vandaan kwam), waarbij zijn snelheid (ten opzichte van de Zon) steeds kleiner wordt. Er is dus precies voldoende \(E_\mathrm{k}\) om aan de zwaartekracht van de Zon te ontsnappen. Dit is typisch de baan van een komeet die uit de Oortwolk (bijna oneindig ver weg) naar de Zon begint te vallen, er eenmaal voorbijkomt, naar de Oortwolk verdwijnt en nooit meer terugkomt.

Als \(\mathbf{E_\mathrm{k} > E_\mathrm{g}}\), dan is de baan een hyperbool, eveneens ongebonden. Het object komt met een behoorlijke snelheid 'uit het oneindige', beweegt naar de Zon en beweegt met veel snelheid weer weg van de Zon, in een andere richting dan waar het vandaan kwam. Er is dus nog snelheid over ten opzichte van het geval van de parabool. Hoe hoger de beginsnelheid (dus hoe meer \(E_\mathrm{k} > E_\mathrm{g}\)), des te minder wordt het object afgebogen door de Zon en des te meer beweegt het 'rechtdoor' langs de Zon. Dit is typisch het geval van een andere ster die langs de Zon beweegt.

Dezelfde indeling kan ook worden gemaakt aan de hand van de 'bindingsenergie' van het object: BE = \(E_\mathrm{k} - E_\mathrm{g}\). Als BE<0 dan heb je een ellips, bij BE=0 een parabool en bij BE>0 een hyperbool. Al deze banen kunnen voorkomen in een \(1/r^2\)-zwaartekrachtsveld, zowel in dat van Newton als in dat van Einstein. Het verschil tussen Newton en Einstein is alleen bij sterke zwaartekracht (dus dicht bij de Zon in ons geval) duidelijk te merken. De zwaartekracht valt daar niet maar af als \(1/r^2\), wat te merken is aan bijvoorbeeld de periheliumverschuiving van Mercurius (iets wat Newton trouwens al voorspelde voor het geval de \(1/r^2\)-wet niet zou gelden). Dat is het (ietwat uitgebreide) antwoord op de eerste vraag.


Het antwoord op de tweede vraag, over het veranderen van een ellipsbaan in een cirkel en terug, is wat korter:

Dit gebeurt inderdaad; de excentriciteit van een planeetbaan is niet constant. Die van de Aarde verandert waarschijnlijk met een periode van ongeveer 100.000 jaar tussen 0. en 0.06. Op dit moment is de excentriciteit 0.0167. Dit effect wordt veroorzaakt door interacties met de andere planeten. Doordat de Aarde ook de zwaartekracht van andere objecten dan de Zon 'voelt', is de zwaartekrachtswet niet precies \(1/r^2\), maar wijkt een beetje af. De Aarde wordt dus gestoord in haar baan om de Zon. De planeten wisselen onderling een beetje energie uit, waardoor de bindingsenergie van de Aardbaan een beetje verandert en daarmee de vorm van de baan.


Zie ook:
Vannacht aan de hemel: Maan, planeten en deepsky-objecten
De planeten
Opkomst en ondergang van de planeten
Posities en andere gegevens voor de planeten
Planeetverschijnselen
Tabellen met planeetgegevens

Jaarlijkse meteorenzwermen
Welke kometen zijn er op dit moment zichtbaar?
Gegevens van planetoïden


App Store       Google Play                

Orioniden 2017   –   Google Play SterHemel  app  MijnHemel App Store   –   Hemel vannacht   –   Weer   –   Meer vragen over planeten   –   FAQ   –   De Planeten   –   Op/onder   –   Zon en Maan   –   Astrokalender   –   Hemelkaart   –   Maanfasekalender     Naar de hoofdpagina Contact HemelApps FAQ Google Play App Store YouTube Google agenda Facebook Twitter


Copyright © 2004–2017   Marc van der Sluys, hemel.waarnemen.com  –  De sterrenhemel voor Nederland en België  —  gewijzigd: 16/10/2017  —  bronvermelding