Begin van de winter – Google Play SterHemel app MijnHemel App Store – Hemel vannacht – Weer – Meer vragen over licht – FAQ – Astrokalender – Hemelkaart – Maanfasekalender Google Play App Store YouTube Google agenda Facebook Twitter

Waardoor is het niet mogelijk om sneller dan het licht te reizen?

Stel, een enorm, hol ruimteschip beweegt met 90% van de lichtsnelheid. In dit grote ruimteschip zit een kleiner ruimteschip dat ook met 90% van de lichtsnelheid reist, maar dan binnen het eerste schip. Het tweede schip reist nu toch met 180% van de lichtsnelheid ten opzichte van de ruimte buiten?

Het korte antwoord is: nee, want je gebruikt de optelregel voor nietrelativistische snelheden om relativistische snelheden bij elkaar op te tellen, en dat geeft niet de juiste uitkomst.

Voor het langere antwoord hebben we wat achtergrondkennis nodig. Laten we ons eens voorstellen dat we met een raket proberen de lichtsnelheid te bereiken. Deze snelheid is 299792458 meter per seconde en wordt in de natuurkunde aangegeven met het symbool c. (Deze snelheid is exact gedefinieerd als dit getal. Omdat de seconde ook gedefinieerd is, is de lengte van een meter dus afgeleid van deze twee getallen, wat overigens ook nauwkeuriger is dan het bepalen van de platina meter in Parijs, die vroeger als maatstaf werd gebruikt.) We stappen dus in onze raket en maken vaart (ik houd nog even geen rekening met de hoeveelheid brandstof die we nodig hebben, maar kom daar later nog wel op terug).

Zolang als onze snelheid (v) veel kleiner is dan c, is er niets bijzonders aan de hand. Onze waarnemingen wijken niet af van die in het dagelijks leven. Maar zodra v van dezelfde orde van grootte wordt als c, verandert dit. Onze snelheid wordt relativistisch en we kunnen niet langer Newtons wetten gebruiken om de zaak te beschrijven. We hebben Einsteins Speciale Relativiteitstheorie (SRT) nodig. De SRT vertelt ons bijvoorbeeld dat wanneer we met een snelheid bewegen die vergelijkbaar is met die van het licht, dat dan onze tijd langzamer verloopt.

Dit volgt uit het gegeven dat de lichtsnelheid dezelfde waarde heeft voor alle waarnemers. Dit klinkt in eerste instantie minder gek dan het in werkelijkheid is. Het betekent namelijk, dat als ik de snelheid van een passerende lichtbundel meet, ik de waarde c vind. Maar wanneer een andere waarnemer tegelijkertijd de snelheid van dezelfde lichtbundel meet, terwijl hij met een zeer hoge snelheid in de richting van de lichtbron beweegt, meet hij dezelfde waarde: c. Dit is in 1880 gemeten door het bekende Michelson-Morley experiment, dat de ether moest aantonen die de ruimte vult, maar die niet werd gevonden. In plaats daarvan vond men dat de gemeten snelheden van allerlei lichtbundels hetzelfde waren, ongeachte welke kant de Aarde op bewoog (in zijn baan om de Zon, met 30 km/s). Einstein gebruikte het constant zijn van de lichtsnelheid als input, waaruit de SRT volgde.

De SRT vertelt ons, dat voor iemand die zich met een snelheid dichtbij de lichtsnelheid voortbeweegt de tijd langzamer verstrijkt dan in rust. Dit klinkt tegen-intuïtief, maar vergeet niet dat we in het dagelijks leven niet met deze snelheden te maken hebben. De factor waarmee de tijd wordt uitgerekt, heet de Lorentzfactor γ (gamma) en wordt gegeven door: \begin{equation} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{equation} De Lorentzfactor neemt een waarde aan die groter of gelijk is aan 1. Als v=0, dus bij stilstand, is γ gelijk aan 1,00, ofwel 100%. Dit betekent dat 1 seconde in de tijd van het proefkonijn overeenkomt met 100% van 1 seconde voor een waarnemer op afstand, kortom: geen verschil. We staan nu ook stil. Voor v/c = 1/2, dus met een snelheid van de helft van de lichtsnelheid, is gamma = 1,15, dus 115%. Een seconde voor een reiziger met deze snelheid wordt als 1,15 seconde beleefd door een waarnemer in stilstand. De volgende tabel geeft de waarde voor γ voor verschillende waarden van v/c:

v/c:	0	0,5	0,9	0,95	0,99	0,999	0,9999	1
γ:	1	1,15	2,29	3,20	7,09	22,4	70,7	oneindig

Merk op dat γ steeds sneller oploopt als v dichter bij c komt. Voor v = c wordt γ oneindig groot: de tijdrekking is oneindig en de tijd van de reiziger in de ogen van de stilstaande waarnemer staat dus stil. Dit is heel belangrijk: het effect is alleen meetbaar wanneer een bewegende en een nietbewegende waarnemer naar elkaar kijken. Als wij met onze raket op 99% van de lichtsnelheid zitten, merken we niets aan onszelf. Een seconde op onze boordklok lijkt nog een seconde, onze hartslag is vrij normaal, enzovoorts. Maar als de stilstaande waarnemer met een telescoop op de boordcomputer kan kijken, ziet hij dat deze slechts iedere 7 seconden een seconde verspringt! Ook de pulsen op het scherm van de hartslagmeter komen 7 keer langzamer binnen dan normaal. En als de reiziger op zijn beurt naar de stilstaande waarnemer kijkt, ziet hij precies hetzelfde. Immers, het uitgangspunt van de SRT is dat de twee weliswaar bewegen ten opzichte van elkaar, maar dat het niet mogelijk is aan te wijzen wie nu beweegt. Mocht de reiziger echter terugkeren, dan zal blijken dat deze jonger is dan de “stilstaande” waarnemer. Nu is wel een verschil aan te wijzen — de reiziger heeft moeten omkeren en hiervoor een versnelling moeten ondergaan. Bij gedetailleerde beschouwing blijkt het (leef)tijdsverschil juist bij deze versnelling te ontstaan.

Tijd is misschien een van de meest bizarre, maar niet de enige grootheid die door de relativistische snelheid wordt beïnvloed. Massa (of energie) is er ook een. Wanneer een voorwerp met een relativistische snelheid beweegt, wordt zijn massa groter, kortom het voorwerp wordt zwaarder. De factor waarmee de massa van het voorwerp toeneemt is weer de Lorentzfactor γ. Een kanonskogel van 1,00 kg die met 99% van de lichtsnelheid wordt afgeschoten weegt dan dus 7,09 kg! En hier zit 'm de kneep wat betreft het behalen van de lichtsnelheid met onze raket uit het begin van het verhaal: als we snel willen bewegen, moeten we versnellen. Voor versnellen is kracht nodig (raketmotoren) en voor kracht is energie (brandstof) nodig. Hoe zwaarder een voorwerp is, hoe meer kracht en dus hoe meer energie is er nodig. Een volle vrachtwagen verbruikt immers meer brandstof dan een lege personenwagen. Naarmate we sneller bewegen, wordt onze raket zwaarder, hebben we meer brandstof nodig om hem verder te versnellen, wordt onze raket nog zwaarder, hebben we nog meer brandstof nodig, enzovoorts. Het kost dus oneindig veel energie om onze raket het laatste stukje tot de lichtsnelheid te versnellen en dus zullen we de lichtsnelheid nooit bereiken.

Nu naar de eigenlijke vraag van de optelsom: stel dat we een heel groot ruimteschip hebben, dat met 90% van de lichtsnelheid beweegt. En binnenin dit reusachtige ruimteschip beweegt een kleiner ruimteschip, met 90% ten opzichte van het eerste, in dezelfde richting. Een stilstaande waarnemer zou dan (door een reusachtige patrijspoort kijkend) het kleine schip met 180% van de lichtsnelheid moeten zien bewegen. Ook dit klopt (natuurlijk) niet. In werkelijkheid kun je deze relativistische snelheden namelijk niet bij elkaar optellen, zoals je dat met alledaagse, nietrelativistische snelheden wel kunt. Dit heeft weer met die tijdvertraging te maken. Er is een speciale functie die beschrijft hoe je deze snelheden dan wel optelt: \begin{equation} v_\mathrm{tot} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}} \end{equation} Hierin zijn v₁ en v₂ de afzonderlijke snelheden en c de lichtsnelheid. De som wordt dan dus: \[ v_\mathrm{tot} = \frac{0,\!9c + 0,\!9c}{1 + 0,\!9 \times 0,\!9} = 0,\!994475, \] dus het kleine ruimteschip reist met bijna de lichtsnelheid, maar nog net niet, en zeker niet sneller!

(Merk op dat ik \(\frac{v_1 v_2}{c^2}\) vervang door \(0,\!9\times 0,\!9\). Dit kan doordat beide snelheden 90% van de lichtsnelheid zijn, dus \(v_1=0,\!9 \times c, v_2=0,\!9 \times c,\) zodat \(v_1 \times v_2/c^2 = 0,\!9 \times c \times 0,\!9 \times c / c^2 = 0,\!9 \times 0,\!9).\)

Met dank aan R. Vlaming voor correcties.

Zie ook:
Velocity-addition formula (Engelstalige Wikipedia)
Vragen over zwarte gaten

@hemel_waarnemen volgen